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“我说的这句话是谎话”,你信吗?| 悦读科学

2018/09/20
导读
这题没法答……


一个看上去绝对正确的论述,结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。这些悖论与数学家们一直保持着一种暧昧的关系——既代表了最严重的危机,又是一种新想法和新理论的来源。


所谓悖论,就是一种似假非真、似是而非、自相矛盾的命题。它是一种显然不能被解决的矛盾。一个看上去绝对正确的论述,结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。想象一下,你列出了一个公理的清单,这些公理在你看来都是不容置疑的,然而你却从这些公理出发推导出了一系列明显是错误的定理!简直是噩梦啊! 


说谎者悖论

历史上著名的悖论之一,是由米利都的欧布里德提出的, 内容与古希腊诗人埃庇米尼得斯说过的话有关。的确,埃庇米尼得斯曾在某一日宣布说:“所有的克里特人都是骗子。”那么问题来了,埃庇米尼得斯自己就是一个克里特人!因此,如果他说的是真的,那么他就是个骗子,所以他说的就是谎话; 如果他说的是假的,那么他就是在说谎,这句话就成了真话! 后来,这个悖论被演变成了各种各样的形式,其中最简单的一种,是一个人说:“我说的这句话是谎话。” 


说谎者悖论挑战了一个我们预设的想法,那就是对于任意一句陈述来说,它或者是真,或者是假,绝对没有第三种可能。在数学上,这被称为“排中律”。乍一看,把排中律的原则当成一个公理似乎是个很诱人的提议。然而,说谎者悖论却警告了我们:情况比排中律所说的更复杂。如果一个陈述确认了自己的虚假性,那么在逻辑上,它就是既非真也非假的。


但是,这种程度的“困扰”并不会影响当今大多数数学家认为排中律是真实的。毕竟,说谎者悖论并不是一个真正的数学陈述,人们觉得它更像是一种语言学上的不一致,而不是一种逻辑的矛盾。然而,欧布里德身后2000多年,逻辑学家们发现,同样类型的矛盾居然也出现在了最严格的理论当中,造成了数学领域的剧烈动荡。


阿喀琉斯追乌龟

公元前5世纪的古希腊哲学家,埃利亚的芝诺,也是一位善于创造悖论艺术的大师。他自己一个人就创造出了将近10种悖论,其中最负盛名的,就是“阿喀琉斯追乌龟”。


想象一下,阿喀琉斯(一位著名的运动健将、“希腊第一勇士”)和一只乌龟,赛跑。为了平衡一下双方实力,乌龟被允许领先一段距离起跑,比如说领先100米好了。尽管乌龟具有这样的优势,然而在我们看来,奔跑速度远远大于乌龟的阿喀琉斯都将很快赶超乌龟,赢得比赛。


然而,芝诺却向我们证明了相反的结果。芝诺说,比赛的路程可以被分为若干个阶段,为了追赶上乌龟,阿喀琉斯必须至少先跑过乌龟领先的100米。而当阿喀琉斯跑过这100米的时候,乌龟也前进了一段距离,因此,阿喀琉斯必须要再跑过这段距离才能追上乌龟。可是当阿喀琉斯跑完这段距离的时候,乌龟又会往前移动一段距离。因此,每次阿喀琉斯跑完了乌龟领先的一段距离,乌龟都会继续再领先一段距离……


总之,每次阿喀琉斯跑到之前乌龟所在的地方的时候,乌龟都又前进了一段距离,阿喀琉斯始终也追不上乌龟。这个“追赶”的过程可以一直持续下去,不管重复多少次,都是真的!因此,阿喀琉斯看上去总是越来越接近乌龟,可是永远也无法超过它。


很荒谬吧,不是吗?但是只要亲自下场验证一下就能知道,阿喀琉斯真的是分分钟就能超越乌龟。然而,芝诺的推演过程看上去很牢靠,似乎很难寻找到什么逻辑上的错误。数学家们花了很长很长的时间,才终于明白这个悖论实际上是巧妙地玩弄了“无限”的概念


假设乌龟和阿喀琉斯沿着直线跑,他们的运动轨迹可以看作欧几里得所谓的“线段”。一条线段具有一个有限的长度,尽管它是由无限个点构成的,而每个点的长度都等于0。所以,在某种程度上说, 这是一种有限中的无限。芝诺悖论切割了时间间隔,使得阿喀琉斯追赶乌龟的时间间隔变得越来越小。然而,这些无限的阶段却发生在有限的时间内,因此,当时间被突破的时候, 就没有什么能够阻挡住阿喀琉斯追上乌龟的脚步了。


毫无疑问,数学中的“无限”概念绝对是悖论产生的最大来源,然而“无限”同时也是一些最迷人的数学理论产生的摇篮。


纵观历史,数学家们与悖论之间一直保持着一种暧昧的关系。一方面,对于数学家们来说,悖论的出现代表了最严重的危机。一旦某一天,某个理论衍生出了一个悖论,那么这个理论的所有基础,也就是我们依据公理创造出来的所有定理,将纷纷倒塌。


但是另一方面,悖论意味着挑战!悖论是一种非常令人兴奋的、丰富的问题来源。悖论的存在意味着有什么东西正在困扰着我们,原因是我们错误地理解了一个概念,或者错误地提出了一个定义,或者错误地选择了一个公理。因为我们太过想当然,把一个明显不是“显然”的事情当成了显然。悖论是通往冒险的邀请函,这张邀请函让我们不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所当然”。如果没有悖论不断地怂恿着我们前进,那么我们将错过多少新想法和新理论呢?


作者简介

米卡埃尔·洛奈(Mickaël Launay)2005年进入法国巴黎高等师范学院,并于2012年获得概率学博士学位。


(本文经授权摘编自北京联合出版公司出版的《万物皆数》(2018年8月,[法]米卡埃尔·洛奈/著,孙佳雯/译)第五章《一点儿方法》。


文章头图及封图片来源:pixabay.com

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